ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 32895
Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Параллельный перенос ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Назовём точку на плоскости узлом, если обе её координаты целые числа. Дан треугольник с вершинами в узлах, внутри него расположено не меньше двух узлов. Докажите, что среди узлов внутри треугольника можно выбрать такие два узла, что проходящая через них прямая содержит одну из вершин треугольника или параллельна одной из сторон треугольника.


Решение 1

  Обозначим через A1, B1, C1 соответственно середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC. Возьмём два произвольных узла X и Y внутри треугольника. Пусть один из них лежит вне треугольника A1B1C1, например, X лежит внутри треугольника AB1C1. Построим отрезок AW, серединой которого является точка X. Тогда W – также узел, он находится внутри ABC, и прямая XW проходит через A.
  Пусть теперь оба узла X и Y принадлежат треугольнику A1B1C1. Если прямая XY параллельна одной из сторон треугольника, все в порядке. В противном случае применим лемму из решения задачи 32889 к треугольнику A1B1C1. Пусть, например, конец Z1 отрезка A1Z1, равного и параллельного XY, лежит внутри треугольника A1B1C1. Тогда отрезок AZ, симметричный A1Z1 относительно середины B1C1, также равен и параллелен XY. Поэтому Z – узел, лежащий внутри AB1C1. Как показано выше, на прямой AZ есть ещё один узел.


Решение 2

  Рассмотрим данный треугольник ABC и узлы X и Z внутри него. Через X проведём три прямые, параллельные сторонам треугольника. Таким образом, треугольник ABC разбивается на три треугольника и три параллелограмма (см. рис.).

  1) Если Z лежит на одной из трёх прямых, то прямая XZ параллельна одной из сторон по построению.

  2) Пусть Z лежит в одном из параллелограммов. Проведём через Z три прямые, параллельные сторонам треугольника. Тогда X относительно Z лежит в одном из трёх полученных треугольников. Заменой обозначений X и Z приходим к следующему случаю.

  3) Допустим, Z лежит внутри одного из треугольников, скажем, TRX. Обозначим точку пересечения CX и AB буквой S и разберём два случая.
  3а)  CX ≥ XS.  Тогда обе точки     и     лежат внутри ABC. Эти точки являются узлами, так что пара  (Z', Z'')  – искомая.
  3б)  CX < XS.  Тогда узел     лежит внутри треугольника ABC, и подходит пара узлов  (X, Y).

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2013
Номер 76
класс
Класс 9
задача
Номер 5
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2012/13
Номер 34
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .