Задача 32902

Тема:    [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 2 Классы: 7

Условие

Во сколько раз сумма чисел, стоящих в сто первой строке треугольника Паскаля, больше суммы чисел, стоящих в сотой строке?

Решение 1

Пусть в 100-й строке стоят числа  c₀, c₁, ..., c₁₀₀.  Тогда в 101-й строке стоят числа  c₀,  c₀ + c₁,  c₁ + c₂,  ...,  c₉₉ + c₁₀₀,  c₁₀₀;
их сумма равна  2c₀ + 2c₁ + ... + 2c₁₀₀.

Решение 2

Сумма чисел в строке равна количеству путей, ведущих из вершины O треугольника Паскаля к "точкам" этой строки (см. задачу 30710). Но из каждой точки 100-й строки ведут два пути к точкам 101-й строки. Поэтому общее количество путей удваивается.

Ответ

В два раза.

Замечания

См. также решение задачи 60412 в).

Источники и прецеденты использования

Кружок
Название	ВМШ 57 школы
класс
Класс	7
год
Год	1999/00
Место проведения	57 школа
занятие
Номер	8
Название	Треугольник Паскаля
Тема	Треугольник Паскаля и бином Ньютона
задача
Номер	03