|
|
 |
Условие
В последовательности троек целых чисел (2, 3, 5), (6, 15, 10), ... каждая тройка получается из предыдущей таким образом: первое число умножается на второе, второе – на третье, а третье – на первое, и полученные произведения дают новую тройку. Докажите, что ни одно из чисел, получаемых таким образом, не будет степенью целого числа: квадратом, кубом и т.д.
Подсказка
Каждая тройка имеет вид: (2a3b5c, 2c3a5b, 2b3c5a).
Решение
Легко проверить, что каждая тройка имеет вид: (2a3b5c, 2c3a5b, 2b3c5a), где a, b, c – некоторые целые числа. Действительно, тройка показателей (a', b', c') для следующей тройки чисел получается из предыдущей тройки показателей (a, b, c) по правилу: (a', b', c') = (a + c, a + b, b + c).
Некоторое из чисел какой-либо тройки является степенью тогда и только тогда, когда числа из тройки показателей будут делиться на одно и то же простое число p.
Предположим, что такое случилось, и рассмотрим тройку показателей (a', b', c') с наименьшим номером, где все три числа кратны p. Рассмотрим два случая.
1) p = 2. Это – не первая тройка: она равна (1, 0, 0). Значит, в предыдущей тройке все числа одной чётности, то есть все нечётны. Это снова не первая тройка, значит, в предыдущей все числа разной чётности, что невозможно.
2) p – нечётное простое число. В предыдущей тройке (a, b, c) суммы a + b, b + c, c + a кратны p. Сложив эти числа, получим, что 2(a + b + c) и, следовательно, a + b + c кратно p. Значит, и a = (a + b + c) – (b + c) кратно p. Аналогично b и c кратны p. Противоречие с выбором тройки (a', b', c').
