Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу. Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит ещё ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей?
Расшифруйте ребус: КИС+КСИ=ИСК. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.
На шкуре у Носорога складки – вертикальные и горизонтальные.
Если у Носорога на левом боку a вертикальных, b горизонтальных складок, а на правом – c вертикальных и d горизонтальных, будем говорить, что это Носорог в состоянии (abcd)
или просто Носорог (abcd).
Если Носорог чешется каким-то боком о баобаб вверх-вниз, и у Носорога на этом боку есть две горизонтальные складки, то эти две горизонтальные складки
разглаживаются. Если двух таких складок нет, то ничего не происходит.
Аналогично если Носорог чешется боком вперед-назад, и на этом боку есть две вертикальные складки, то они разглаживаются, если же таких двух складок не найдётся, то ничего не происходит.
Если на каком-то боку две какие-то складки разглаживаются, то на другом боку немедленно появляется две новые складки: одна вертикальная и одна горизонтальная.
Носороги чешутся часто, случайным боком о случайные баобабы в случайных направлениях.
а) Докажите, что среди всех выпуклых четырёхугольников с данными углами и
данным периметром наибольшую площадь имеет описанный четырёхугольник.
б) Докажите, что среди всех выпуклых n-угольников
A1...An с данными
величинами углов Ai и данным периметром наибольшую площадь имеет описанный
n-угольник.
В равнобедренной трапеции ABCD большее основание AD = 12, AB = 6. Найдите расстояние от точки O пересечения диагоналей до точки K пересечения продолжений боковых сторон, если продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом.
Докажите, что пересечение трёх прямых круговых цилиндров с радиусами 1, оси которых попарно взаимно перпендикулярны (но не обязательно пересекаются), содержится в некотором шаре радиуса
|
|
 |
Условие
Докажите, что пересечение трёх прямых круговых цилиндров с радиусами 1, оси которых попарно взаимно перпендикулярны (но не обязательно пересекаются), содержится в некотором шаре радиуса
Решение
Пусть цилиндры задаются неравенствами (x – a)² + (y – b)² < 1, (y – c)² + (z – d)² < 1, (z – e)² + (x – f)² < 1. Заметим, что
(x – a)² + (x – f)² = 2x² – 2x(a + f)a² + f² > 2x² – 2x(a + f) + ½ (a + f)² = 2(x – ½ (a + f))². Аналогично
(y – b)² + (y – c)² > 2(y – ½ (b + c))², (z – d)² + (z – e)² > 2(z – ½ (d + e))². Сложив три неравенства, задающих цилиндры, и применив доказанные оценки, получим (x – ½ (a + f))² + (y – ½ (b + c))² + (z – ½ (d + e))² > 3/2. Это означает, что точка, лежащая внутри каждого из трёх цилиндров, лежит внутри сферы с центром в точке (½ (a + f), ½ (b + c), ½ (d + e)) и радиуса
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
