Версия для печати
Убрать все задачи

---

У девяти фермеров есть клетчатое поле 9×9, огороженное по периметру забором и сплошь заросшее ягодами (в каждой точке поля, кроме точек забора, растёт ягода). Фермеры поделили поле между собой по линиям сетки на 9 участков равной площади (каждый участок – многоугольник), но границы отмечать не стали. Каждый фермер следит только за ягодами внутри (не на границе) своего участка, а пропажу замечает, только если у него пропали хотя бы две ягоды. Всё это известно вороне, но где проходят границы между участками, она не знает. Может ли ворона утащить с поля 8 ягод так, чтобы пропажу гарантированно ни один фермер не заметил?

   Решение

---

Разрежьте произвольный треугольник на 3 части и сложите из них прямоугольник.

   Решение

Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что     при  n > 1.

Подсказка

Оцените сумму  

Решение

Разобьём слагаемые в исходной сумме на n групп:     Достаточно показать, что в каждой группе, начиная со второй, сумма слагаемых больше ½. Но это действительно так: в k-й группе 2^k–1 слагаемых, последнее из которых равно 2^–k, а каждое из остальных больше 2^–k.

Источники и прецеденты использования