Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
Три равных окружности S1 , S2 , S3 попарно касаются друг друга, и вокруг них описана окружность S , которая касается всех трёх. Докажите, что для любой точки M окружности S касательная, проведённая из точки M к одной из трёх окружностей S1 , S2 , S3 , равна сумме касательных, проведённых из точки M к двум другим окружностям.
Решение
|
|
 |
Условие
Докажите, что нечётное число, являющееся произведением n различных простых сомножителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел ровно 2n–1 различными способами.
Подсказка
2n–1 – это число способов разбить множество из n простых сомножителей на два подмножества.
Решение
Пусть m = p1p2...pn, где p1, p2, ..., pn – различные нечётные простые числа. Будем решать уравнение x² – y² = m в натуральных числах. Это уравнение приводится к виду (x – y)(x + y) = p1p2...pn, откуда следует, что сомножитель x – y есть произведение нескольких чисел (возможно ни одного, в этом случае x – y = 1) из набора p1, p2, ..., pn, а сомножитель x + y есть произведение оставшихся чисел из этого набора. При этом сомножителю x – y соответствует меньшее произведение. Таким образом, каждому решению (x, y) соответствует разбиение множества из n чисел на два подмножества.
Наоборот, пусть есть некоторое разбиение чисел p1, p2, ..., pn на два подмножества. Обозначим через t и s (t < s) произведения чисел в этих подмножествах (t ≠ s, поскольку числа p1, p2, ..., pn различны). Тогда найдётся единственная пара натуральных чисел для которой x – y = t и x + y = s (x и y натуральные, так как t и s нечётны).
Итак, число представлений m в виде разности квадратов
двух натуральных чисел равно числу способов разбить множество из n элементов на два подмножества, то есть 2n–1 (в два раза меньше числа 2n всех подмножеств).
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
