Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите равенства:
  a)  cos π/5 – cos /5 = ½;
  б)  cosec π/7 = cosec /7 + cosec /7;
  в)  sin 9° + sin 49° + sin 89° + ... + sin 329° = 0.

Вниз   Решение


На столе в ряд лежат 20 плюшек с сахаром и 20 с корицей в произвольном порядке. Малыш и Карлсон берут их по очереди, начинает Малыш. За ход можно взять одну плюшку с любого края. Малыш хочет, чтобы ему в итоге досталось по десять плюшек каждого вида, а Карлсон пытается ему помешать. При любом ли начальном расположении плюшек Малыш может достичь своей цели, как бы ни действовал Карлсон?

ВверхВниз   Решение


Аксиома индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Докажите, что аксиома индукции равносильна любому из следующих утверждений:
1) всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит наименьшее число;
2) всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел содержит наибольшее число;
3) если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа;
4) если известно, что некоторое утверждение верно для некоторого a, и из предположения, что утверждение верно для всех натуральных чисел k, таких, что a $ \leqslant$ k < n вытекает его справедливость для n, то это утверждение верно для всех натуральных чисел k $ \geqslant$ a;
5) (Обратная индукция.) Если известно, что некоторое утверждение верно для 1 и 2, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n > 1, вытекает его справедливость для 2n и n - 1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.

Вверх   Решение

Задача 35026
Тема:    [ Задачи на движение ]
Сложность: 3-
Классы: 6,7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Много лет каждый день в полдень из Гавра в Нью-Йорк отправляется почтовый пароход и в то же время из Нью-Йорка отходит идущий в Гавр пароход той же компании. Каждый из этих пароходов находится в пути ровно семь суток, и идут они по одному и тому же пути.
Сколько пароходов своей компании встретит на своём пути пароход, идущий из Гавра в Нью-Йорк?


Подсказка

В то время, как пароход из Гавра отходит, в Гавр прибывает пароход, который вышел из Нью-Йорка 7 суток назад.


Решение

Примем время отправления некоторого парохода П из Гавра за начальное и отметим все пароходы, которые он встречает. В то время, как пароход П отходит из Гавра, в Гавр прибывает пароход, который вышел из Нью-Йорка семь суток назад. В момент прибытия парохода П в Нью-Йорк с начального момента прошло семь суток, и в этот момент из Нью-Йорка выходит пароход – последний, который пароход П встречает на своем пути. Таким образом, пароход П встретит все пароходы, которые выходили из Нью-Йорка, начиная с семи суток до начального времени и заканчивая семью сутками после начального времени – всего 15 пароходов (если считать, что пароходы встречаются, когда в один и тот же момент один из них отходит, а другой – прибывает).


Ответ

15 пароходов.

Замечания

Для решения не требуется, чтобы пароходы плыли с постоянной скоростью.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .