ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67054
Темы:    [ Четность и нечетность ]
[ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На столе в ряд лежат 20 плюшек с сахаром и 20 с корицей в произвольном порядке. Малыш и Карлсон берут их по очереди, начинает Малыш. За ход можно взять одну плюшку с любого края. Малыш хочет, чтобы ему в итоге досталось по десять плюшек каждого вида, а Карлсон пытается ему помешать. При любом ли начальном расположении плюшек Малыш может достичь своей цели, как бы ни действовал Карлсон?

Решение

Пронумеруем плюшки в ряду числами от 1 до 40. Заметим, что у Малыша всегда есть возможность взять плюшку с номером любой чётности, а после каждого его хода Карлсон вынужден брать плюшку с номером другой чётности.

Пусть среди плюшек с нечётными номерами не меньше десяти с сахаром (если с корицей, то рассуждения аналогичны). Тогда Малыш начинает с того, что берёт плюшки с нечётными номерами и после каждого хода Карлсона вычисляет такую величину: количество полученных плюшек с сахаром + количество оставшихся на столе плюшек с сахаром с чётными номерами. В начальный момент эта величина не больше 10, а если Малыш будет брать плюшки только с нечётными номерами, то в конце она будет не меньше 10. При этом после каждой пары ходов Малыша и Карлсона эта величина изменяется не более чем на 1. Следовательно, в какой-то момент (возможно, начальный) она будет равна 10. После этого Малыш может брать только плюшки с чётными номерами и в итоге получит ровно 10 плюшек с сахаром, а значит, и 10 плюшек с корицей, что и требуется.

Замечание. Верно более общее утверждение: если в ряд лежит чётное число плюшек, и из них на нечётных местах ровно $L$ с сахаром, а на чётных — ровно $R$ с сахаром, то для всякого $k$ между (нестрого) числами $R$ и $L$ Малыш может действовать так, чтобы взять ровно $k$ плюшек с сахаром.

Для решения исходной задачи достаточно доказать это утверждение, ибо в нашем случае $R+L=20$ и одно из чисел не меньше 10, а другое не больше 10.

Доказываем индукцией по количеству плюшек. Если их две, то утверждение очевидно. Шаг индукции: покрасим плюшки в шахматном порядке, чтобы нечётные стали белыми; если $k=L$, то Малышу достаточно каждым ходом есть белую плюшку, если $k=R$ — то чёрную. Если же $k$ заключено строго между $L$ и $R$, то Малыш может сделать первый ход произвольным образом, а далее добиться своего по предположению индукции. В самом деле, не умаляя общности, $L < k < R$, тогда белых плюшек с сахаром останется либо $L$, либо $L-1$, чёрных — либо $R$, либо $R-1$, а Малышу далее надо взять либо $k$, либо $k-1$ плюшку с сахаром, причём $L-1 < L\leqslant k-1 < k\leqslant R-1 < R$.

Ответ

при любом.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
год/номер
Номер 43
Дата 2021/22
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 7
олимпиада
Название Турнир городов
год/номер
Номер 43
Дата 2021/22
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .