Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
43 турнир (2021/2022 год)
>>
осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Фильтр
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
Мудрецам A,B,C,D сообщили, что числа 1,2,...,12 написаны по одному на 12 карточках и что эти карточки будут розданы им по три, причём каждый увидит лишь свои карточки. После раздачи мудрецы по очереди сказали следующее.
В одной из клеток шахматной доски 10 × 10 стоит ладья. Переходя каждым
ходом в соседнюю по стороне клетку, она обошла все клетки доски, побывав в каждой ровно по
одному разу. Докажите, что для каждой главной диагонали доски верно следующее утверждение: в маршруте ладьи есть два последовательных хода, первым из которых она ушла с этой
диагонали, а следующим — вернулась на неё. (Главная диагональ ведёт из угла доски в противоположный угол.)
На плоскости сидят кузнечик Коля и 2020 его товарищей. Коля собирается совершить прыжок через каждого из остальных кузнечиков (в произвольном порядке) так, что
начальная и конечная точка каждого прыжка симметричны относительно перепрыгиваемого
кузнечика. Назовём точку финишной, если Коля может в неё попасть после 2020-го прыжка.
При каком наибольшем числе N найдётся начальная расстановка кузнечиков, для которой имеется ровно N различных возможных финишных точек?
При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что $|a-b|\leqslant k$ или $|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}|\leqslant k$?
Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что $\angle PDA = \angle PBA$. Пусть $\omega_1$ — вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая напротив вершины $A$. Пусть $\omega_2$ — вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к $\omega_1$ и $\omega_2$ параллельна $AD$.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
Задача 67055 (#1) |
|
|
A: «На одной из моих карточек — число 8».
B: «Все числа на моих карточках простые».
C: «А все числа на моих — составные, причём имеют общий простой делитель».
D: «Тогда я знаю, какие карточки у каждого из вас».
Какие карточки у A, если все сказали правду?
|
|
Решение |
Задача 67056 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67057 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67058 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67059 (#5) |
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
