ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 67055  (#1)

Тема:   [ Логика и теория множеств (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Мудрецам A,B,C,D сообщили, что числа 1,2,...,12 написаны по одному на 12 карточках и что эти карточки будут розданы им по три, причём каждый увидит лишь свои карточки. После раздачи мудрецы по очереди сказали следующее.

A: «На одной из моих карточек — число 8».
B: «Все числа на моих карточках простые».
C: «А все числа на моих — составные, причём имеют общий простой делитель».
D: «Тогда я знаю, какие карточки у каждого из вас».

Какие карточки у A, если все сказали правду?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67056  (#2)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

В одной из клеток шахматной доски 10 × 10 стоит ладья. Переходя каждым ходом в соседнюю по стороне клетку, она обошла все клетки доски, побывав в каждой ровно по одному разу. Докажите, что для каждой главной диагонали доски верно следующее утверждение: в маршруте ладьи есть два последовательных хода, первым из которых она ушла с этой диагонали, а следующим — вернулась на неё. (Главная диагональ ведёт из угла доски в противоположный угол.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 67057  (#3)

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

На плоскости сидят кузнечик Коля и 2020 его товарищей. Коля собирается совершить прыжок через каждого из остальных кузнечиков (в произвольном порядке) так, что начальная и конечная точка каждого прыжка симметричны относительно перепрыгиваемого кузнечика. Назовём точку финишной, если Коля может в неё попасть после 2020-го прыжка. При каком наибольшем числе N найдётся начальная расстановка кузнечиков, для которой имеется ровно N различных возможных финишных точек?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67058  (#4)

Тема:   [ Неравенства с модулями ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Дидин М.

При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что $|a-b|\leqslant k$ или $|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}|\leqslant k$?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67059  (#5)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что $\angle PDA = \angle PBA$. Пусть $\omega_1$ — вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая напротив вершины $A$. Пусть $\omega_2$ — вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к $\omega_1$ и $\omega_2$ параллельна $AD$.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .