Задача 67055

Темы:    [ Логика и теория множеств (прочее) ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

Мудрецам $A, B, C, D$ сообщили, что числа 1, 2, ..., 12 написаны по одному на 12 карточках и что эти карточки будут розданы им по три, причём каждый увидит лишь свои карточки. После раздачи мудрецы по очереди сказали следующее.
  $A$: "На одной из моих карточек – число 8".
  $B$: "Все числа на моих карточках простые".
  $C$: "А все числа на моих – составные, причём имеют общий простой делитель".
  $D$: "Тогда я знаю, какие карточки у каждого из вас".
Какие карточки у $A$, если все сказали правду?

Решение

  Простые числа могут быть только у $A, B$ и $D$. На карточках $B$ – три из пяти возможных простых чисел  (2, 3, 5, 7, 11).  Остальные два простых числа – у $D$, иначе он не знал бы, какие именно из простых чисел есть у $B$, а какие – у $A$.
  На карточках $C$ могут быть тройки  (4, 6, 10),  (4, 6, 12),  (4, 10, 12),  (6, 10, 12)  или  (6, 9, 12).  Только если у $D$ есть 6 или 12, он может определить, какая именно тройка у $C$.
  Итак, у $D$ – два простых числа и одно из чисел 6 и 12, у $C$ соответственно – 4, 6, 10, или 4, 10, 12, у $B$ – три простых числа, у $A$ – числа 1, 8, 9.

Ответ

1, 8 и 9.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Номер	43
Дата	2021/22
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	1