Страница: 1 [Всего задач: 4]      

Петя и Вася подошли к доске, и Петя нарисовал на ней несколько окружностей с различными центрами, покрасив каждый центр красным или синим цветом. Оказалось, что если какие-то две окружности касаются друг друга, то обязательно внешним образом, причём их центры — разного цвета. Всегда ли Вася может заменить каждую окружность на новую с тем же центром так, чтобы выполнялось условие: если касались друг друга две старые окружности, то соответствующие им новые тоже касаются, но уже внутренним образом?

Прислать комментарий

Решение

На плоскости сидят кузнечик Коля и 2020 его товарищей. Коля собирается совершить прыжок через каждого из остальных кузнечиков (в произвольном порядке) так, что начальная и конечная точка каждого прыжка симметричны относительно перепрыгиваемого кузнечика. Назовём точку финишной, если Коля может в неё попасть после 2020-го прыжка. При каком наибольшем числе $N$ найдётся начальная расстановка кузнечиков, для которой имеется ровно $N$ различных возможных финишных точек?

Прислать комментарий

Решение

За каждым из двух круглых столиков сидит по $n$ гномов. Каждый дружит только со своими соседями по столику слева и справа. Добрый волшебник хочет рассадить гномов за один круглый стол так, чтобы каждые два соседних гнома дружили между собой. Он имеет возможность подружить $2n$ пар гномов (гномы в паре могут быть как с одного столика, так и с разных), но после этого злой волшебник поссорит между собой $n$ пар гномов из этих $2n$ пар. При каких $n$ добрый волшебник может добиться желаемого, как бы ни действовал злой волшебник?

Прислать комментарий

Решение

Назовём рассадку $N$ кузнечиков на прямой в различные её точки $k$-удачной, если кузнечики, сделав необходимое число ходов по правилам чехарды, могут добиться того, что сумма попарных расстояний между ними уменьшится хотя бы в $k$ раз. При каких $N\geqslant2$ существует рассадка, являющаяся $k$-удачной сразу для всех натуральных $k$? (В чехарде за ход один из кузнечиков прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]