Задача 35052

Темы:    [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Классические неравенства ] [ Дискретное распределение ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

В классе 30 учеников. Докажите, что вероятность того, что у каких-нибудь двух учеников совпадают дни рождения, составляет больше 50%.

Подсказка

Найдите вероятность того, что ни у каких двух учеников не совпадают дни рождения.

Решение

  Докажем, что вероятность того, что ни у каких двух учеников не совпадают дни рождения, меньше ½.
  Упорядочим учеников. Вероятность того, что второй ученик не родился в один день с первым, равна ³⁶⁴/₃₆₅ (мы опускаем тонкости, связанные с тем, что днем рождения может быть 29 февраля). Вероятность того, что третий не родился в один день с первым или с вторым, равна ³⁶³/₃₆₅, ..., вероятность того, что день рождения тридцатого не совпал с остальными 29 днями рождения, равна ³³⁶/₃₆₅. Поэтому     Можно убедиться (вычислением на компьютере), что p гораздо меньше ½.
  Также можно предложить грубые оценки p.

  Первый способ. Нам надо доказать, что     Домножив обе части равенства на

  получим     

Левая часть меньше 1, поэтому достаточно убедиться, что     Но

  Второй способ. Согласно неравенству Бернулли (см. задачу 30899)

  Как известно, число     близко к     Тем более,  

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача