Задача 35091

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Неравенство Коши ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что  (^a/_b + ^b/_c + ^c/_a)² ≥ 3(^a/_c + ^c/_b + ^b/_a)  для трёх действительных чисел a, b, c, не равных 0.

Решение

Обозначим  x = ^a/_b,  y = ^b/_c,  z = ^c/_a.  Тогда  ^a/_c = xy,  ^c/_b = zx,  ^b/_a = yz.  Значит, нам надо доказать, неравенство  (x + y + z)² ≥ 3(xy + yz + zx),  которое после раскрытия скобок и приведения подобных превращается в неравенство  x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx,  доказанное в задаче 30865.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача