ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35091
Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
[ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что  (a/b + b/c + c/a)² ≥ 3(a/c + c/b + b/a)  для трёх действительных чисел a, b, c, не равных 0.


Решение

Обозначим  x = a/b,  y = b/c,  z = c/a.  Тогда  a/c = xy,  c/b = zx,  b/a = yz.  Значит, нам надо доказать, неравенство  (x + y + z)² ≥ 3(xy + yz + zx),  которое после раскрытия скобок и приведения подобных превращается в неравенство  x² + y² + z2xy + yz + zx,  доказанное в задаче 30865.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .