Пусть A₁ и B₁ — проекции точки P описанной окружности треугольника ABC на прямые BC и AC. Докажите, что длина отрезка A₁B₁ равна длине проекции отрезка AB на прямую A₁B₁.

   Решение

В каждом из $16$ отделений коробки $4\times 4$ лежит по золотой монете. Коллекционер помнит, что какие-то две лежащие рядом монеты (соседние по стороне) весят по $9$ грамм, а остальные по $10$ грамм. За какое наименьшее число взвешиваний на весах, показывающих общий вес в граммах, можно определить эти две монеты?

   Решение

На плоскости синим и красным цветом окрашено несколько точек так, что никакие три точки одного цвета не лежат на одной прямой (точек каждого цвета не меньше трёх). Докажите, что какие-то три точки одного цвета образуют треугольник, на трёх сторонах которого лежит не более двух точек другого цвета.

   Решение

Темы:    [ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ] [ Системы точек ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

На плоскости синим и красным цветом окрашено несколько точек так, что никакие три точки одного цвета не лежат на одной прямой (точек каждого цвета не меньше трёх). Докажите, что какие-то три точки одного цвета образуют треугольник, на трёх сторонах которого лежит не более двух точек другого цвета.

Подсказка

Рассмотрите треугольник наименьшей площади с вершинами в трёх точках одного цвета.

Решение

Рассмотрим треугольник Т наименьшей площади S с вершинами в трёх точках одного цвета. Допустим, что на его сторонах расположено по крайней мере три точки другого цвета. Тогда эти три точки являются вершинами треугольника, площадь которого меньше S, что противоречит выбору треугольника Т.

Источники и прецеденты использования