Задача 56939

Тема:    [ Прямая Симсона ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Пусть A₁ и B₁ — проекции точки P описанной окружности треугольника ABC на прямые BC и AC. Докажите, что длина отрезка A₁B₁ равна длине проекции отрезка AB на прямую A₁B₁.

Решение

Точки A₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром PC, поэтому  A₁B₁ = PC sin A₁CB₁ = PC sin C. Пусть угол между прямыми AB и A₁B₁ равен  и C₁ — проекция точки P на прямую A₁B₁. Прямые A₁B₁ и B₁C₁ совпадают, поэтому  cos = PC/2R (см. задачу 5.89). Следовательно, длина проекции отрезка AB на прямую A₁B₁ равна  AB cos = (2R sin C)PC/2R = PC sin C.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	9
Название	Прямая Симсона
Тема	Прямая Симсона
задача
Номер	05.090