Условие
Пусть
A1 и
B1 — проекции точки
P описанной
окружности треугольника
ABC на прямые
BC и
AC. Докажите,
что длина отрезка
A1B1 равна длине проекции отрезка
AB на
прямую
A1B1.
Решение
Точки
A1 и
B1 лежат на окружности с диаметром
PC,
поэтому
A1B1 =
PC sin
A1CB1 =
PC sin
C. Пусть угол между прямыми
AB
и
A1B1 равен
и
C1 — проекция точки
P на
прямую
A1B1. Прямые
A1B1 и
B1C1 совпадают,
поэтому
cos
=
PC/2
R (см. задачу
5.89). Следовательно, длина
проекции отрезка
AB на прямую
A1B1 равна
AB cos
= (2
R sin
C)
PC/2
R =
PC sin
C.
Источники и прецеденты использования
|
книга |
Автор |
Прасолов В.В. |
Год издания |
2001 |
Название |
Задачи по планиметрии |
Издательство |
МЦНМО |
Издание |
4* |
глава |
Номер |
5 |
Название |
Треугольники |
параграф |
Номер |
9 |
Название |
Прямая Симсона |
Тема |
Прямая Симсона |
задача |
Номер |
05.090 |