ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56939
Тема:    [ Прямая Симсона ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть A1 и B1 — проекции точки P описанной окружности треугольника ABC на прямые BC и AC. Докажите, что длина отрезка A1B1 равна длине проекции отрезка AB на прямую A1B1.

Решение

Точки A1 и B1 лежат на окружности с диаметром PC, поэтому  A1B1 = PC sin A1CB1 = PC sin C. Пусть угол между прямыми AB и A1B1 равен $ \gamma$ и C1 — проекция точки P на прямую A1B1. Прямые A1B1 и B1C1 совпадают, поэтому  cos$ \gamma$ = PC/2R (см. задачу 5.89). Следовательно, длина проекции отрезка AB на прямую A1B1 равна  AB cos$ \gamma$ = (2R sin C)PC/2R = PC sin C.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 9
Название Прямая Симсона
Тема Прямая Симсона
задача
Номер 05.090

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .