Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идет стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на её концах?
Докажите, что связный граф, у которого число рёбер на единицу меньше числа вершин, является деревом.
Пусть p – простое число и p > 3.
а) Докажите, что если разрешимо сравнение x² + x + 1 ≡ 0 (mod p), то p ≡ 1 (mod 6).
б) Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 6k + 1.
Пусть p – простое число и p > 5. Докажите,
что если разрешимо сравнение x4 + x3 + x2 + x + 1 ≡ 0 (mod p), то
p ≡ 1 (mod 5).
Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 5n + 1.
Имеется 20 человек – 10 юношей и 10 девушек. Сколько существует способов составить компанию, в которой было бы одинаковое число юношей и девушек?
Во время шахматного турнира, несколько игроков сыграли нечётное количество партий. Докажите, что число таких игроков чётно.
Пусть a и k > 0 произвольные числа. Определим последовательность {an} равенствами
В углах шахматной доски 3×3 стоят четыре коня: два белых (в соседних углах) и два чёрных.
Можно ли за несколько ходов поставить коней так, чтобы во всех соседних углах стояли кони различного цвета?
На плоскости нарисовано несколько точек, некоторые пары точек соединены отрезками. Известно, что из каждой точки выходит не более k отрезков. Докажите, что точки можно покрасить в k + 1 цвет таким образом, чтобы каждые две точки, соединенные отрезком, были покрашены в разные цвета.
n точек соединены отрезками так, что каждая точка с чем-нибудь соединена и нет таких двух точек, которые соединялись бы двумя разными путями.
Доказать, что общее число отрезков равно n – 1.
Дано простое p и целое a, не делящееся на p. Пусть k – наименьшее натуральное число, при котором ak ≡ 1 (mod p). Докажите, что p – 1 делится на k.
В парламенте 200 депутатов. В процессе заседания произошло 200 потасовок, в каждой из которой участвовали некоторые два депутата.
Докажите, что можно объединить в комиссию 67 депутатов, из которых никакие два не выясняли между собой отношения в потасовке.
|
|
 |
Условие
В парламенте 200 депутатов. В процессе заседания произошло 200 потасовок, в каждой из которой участвовали некоторые два депутата.
Докажите, что можно объединить в комиссию 67 депутатов, из которых никакие два не выясняли между собой отношения в потасовке.
Подсказка
Вначале включим в комиссию всех депутатов, а затем исключаем из комиссии тех депутатов, которые участвовали по крайней мере в двух потасовках с членами комиссии.
Решение
Сначала включим в комиссию всех депутатов. Назовём депутата вредным для комиссии, если он участвовал по крайней мере в двух потасовках с членами этой комиссии. Если в комиссии нашелся вредный депутат, удалим его из комиссии (при этом некоторые депутаты могут перестать быть вредными). Будем удалять из комиссии вредных депутатов, пока это возможно. Пусть после завершения этого процесса депутатов в комиссии осталось k депутатов, между которыми произошли m потасовок. С одной стороны, k ≥ 2m (иначе есть вредный депутат); с другой стороны 200 – m ≥ 2(200 – k) (так как каждый раз при удалении из комиссии вредного депутата количество потасовок между членами комиссии уменьшалось по крайней мере на 2). Отсюда
k + (200 – m) ≥ 2m + 2(200 – k), следовательно, k – m ≥ 67. Наконец, удалим из комиссии по одному участнику каждой из m потасовок, после чего получим комиссию, между членами которой уже не было потасовок, состоящую из k – m членов.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
