Неравенство Иенсена. Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x₁, x₂, ..., x_n ( n 2) из [a;b] и любых положительных , , ..., таких, что + +...+ = 1, выполняется неравенство:

f (x₁ +...+ x_n) > f (x₁) +...+ f (x_n).

   Решение

На собеседовании десяти человекам был предложен тест, состоящий из нескольких вопросов. Известно, что любые пять человек ответили вместе на все вопросы (то есть на каждый вопрос хоть один из пяти дал правильный ответ), а любые четыре – нет. При каком минимальном количестве вопросов это могло быть?

   Решение

Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

На собеседовании десяти человекам был предложен тест, состоящий из нескольких вопросов. Известно, что любые пять человек ответили вместе на все вопросы (то есть на каждый вопрос хоть один из пяти дал правильный ответ), а любые четыре – нет. При каком минимальном количестве вопросов это могло быть?

Подсказка

Для каждого вопроса количество людей, не ответивших на него, не больше четырёх.

Решение

  По условию для каждой четвёрки людей найдется вопрос, на который они не ответили. С другой стороны, количество людей, не ответивших на этот вопрос, не больше четырёх. Поэтому число вопросов не меньше числа четвёрок, которые можно выбрать из 10 человек, то есть  
  Наоборот, если в тесте было 210 вопросов (столько, сколько имеется четвёрок людей), причем на каждый вопрос не ответила своя четвёрка, то условие задачи выполняется.

Ответ

При 210 вопросах.

Замечания

Ср. с задачей 60384.

Источники и прецеденты использования