Задача 35209

Темы:    [ Длины сторон (неравенства) ] [ Построения (прочее) ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

На плоскости нарисован острый угол с вершиной в точке O и точка P внутри него. Постройте точки A и B на сторонах угла так, чтобы треугольник PAB имел наименьший возможный периметр.

Подсказка

Рассмотрите точки P₁ и P₂, симметричные точке P относительно сторон угла.

Решение

Пусть A и B - некоторые положения точек на сторонах угла. Пусть точки P₁ и P₂ симметричны точке P относительно сторон угла OA и OB соответственно. Пусть отрезок P₁P₂ пересекает стороны угла OA и OB соответственно в точках A' и B' (нетрудно проверить, что так как данный угол острый, отрезок P₁P₂ пересекает стороны угла, а не продолжения сторон). Периметр треугольника PAB равен PA+AB+BP, что в силу симметрии равно P₁A+AB+BP₂. Сумма P₁A+AB+BP₂, в свою очередь, не меньше длины отрезка P₁P₂, причем равенство достигается в том и только в том случае, когда A совпадает с A' и B совпадает с B'. Поскольку положения точек P₁ и P₂ фиксированы, то наименьшее значение периметра треугольника PAB достигается, когда A совпадает с A' и B совпадает с B'. Из сказанного выше легко вытекает способ построения искомых точек.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача