Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идет стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на её концах?

   Решение

Докажите, что связный граф, у которого число рёбер на единицу меньше числа вершин, является деревом.

   Решение

Пусть p – простое число и  p > 3.
  а) Докажите, что если разрешимо сравнение  x² + x + 1 ≡ 0 (mod p),  то  p ≡ 1 (mod 6).
  б) Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида  6k + 1.

   Решение

Пусть p – простое число и  p > 5.  Докажите, что если разрешимо сравнение  x⁴ + x³ + x² + x + 1 ≡ 0 (mod p),  то   p ≡ 1 (mod 5).
Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида  5n + 1.

   Решение

Имеется 20 человек – 10 юношей и 10 девушек. Сколько существует способов составить компанию, в которой было бы одинаковое число юношей и девушек?

   Решение

Темы:    [ Сочетания и размещения ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Имеется 20 человек – 10 юношей и 10 девушек. Сколько существует способов составить компанию, в которой было бы одинаковое число юношей и девушек?

Подсказка

Каждой такой компании сопоставьте множество из 10 человек, в которое входят все девушки, вошедшие в компанию, и все юноши, не вошедшие в неё.

Решение

Пусть имеется некоторая компания из k юношей и k девушек. Поставим ей в соответствие множество из 10 человек, в которое включим k девушек, вошедших в компанию, и  10 – k  юношей, не вошедших в неё. Установленное соответствие, очевидно, является взаимно-однозначным. Таким образом, искомое число равно числу способов выбрать 10 человек из 20-ти.

Ответ

  способов.

Источники и прецеденты использования