Информация о задаче

Задача 35575

Темы:	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дана выпуклая фигура и точка A внутри нее. Докажите, что найдется хорда (т.е. отрезок, соединяющий две граничные точки выпуклой фигуры), проходящая через точку A и делящаяся точкой A пополам.

Подсказка

Непрерывно вращайте хорду. Докажите, что при этом вращении мы добьемся искомого положения.

Решение

Проведем какую-нибудь хорду через точку A. Обозначим через a и b длины отрезков, на которые хорда разбивается точкой A. Начинаем вращать хорду против часовой стрелки (тем самым непрерывно менять направление хорды). При этом величина a непрерывно зависит от угла поворота $\phi$ , т.е. $a=a(\phi )$ . Таким же образом, b непрерывно зависит от угла поворота $\phi$ . Рассмотрим разность $a-b$ как функцию от $\phi$ . В начальный момент эта величина равна , при повороте на 180⁰ отрезки, на которые точка A разбивает хорду, меняются местами, т.е. $a(\pi )-b(\pi )=-(a(0)-b(0))$ . Итак, на концах отрезка $[0;\pi ]$ функция $a(\phi )-b(\phi )$ принимает значения разных знаков, поэтому при некотором $\phi \in [0;\pi ]$ выполнено равенство $a(\phi )-b(\phi )=0$ , т.е. достигается равенство длин отрезков хорды.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
задача