ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35575
Темы:    [ Теорема о промежуточном значении. Связность ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Соображения непрерывности ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана выпуклая фигура и точка A внутри нее. Докажите, что найдется хорда (т.е. отрезок, соединяющий две граничные точки выпуклой фигуры), проходящая через точку A и делящаяся точкой A пополам.

Подсказка

Непрерывно вращайте хорду. Докажите, что при этом вращении мы добьемся искомого положения.

Решение

Проведем какую-нибудь хорду через точку A. Обозначим через a и b длины отрезков, на которые хорда разбивается точкой A. Начинаем вращать хорду против часовой стрелки (тем самым непрерывно менять направление хорды). При этом величина a непрерывно зависит от угла поворота $\phi $, т.е. $a=a(\phi )$. Таким же образом, b непрерывно зависит от угла поворота $\phi $. Рассмотрим разность a-b как функцию от $\phi $. В начальный момент эта величина равна $a(0)-b(0)$, при повороте на 1800 отрезки, на которые точка A разбивает хорду, меняются местами, т.е. $a(\pi )-b(\pi )=-(a(0)-b(0))$. Итак, на концах отрезка $[0;\pi ]$ функция $a(\phi )-b(\phi )$ принимает значения разных знаков, поэтому при некотором $\phi \in [0;\pi ]$ выполнено равенство $a(\phi )-b(\phi )=0$, т.е. достигается равенство длин отрезков хорды.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .