На клетчатой доске 10×10 в одной из клеток сидит бактерия. За один ход бактерия сдвигается в соседнюю по стороне клетку и делится на две бактерии (обе остаются в той же клетке). Затем снова одна из сидящих на доске бактерий сдвигается в соседнюю по стороне клетку и делится на две, и так далее. Может ли после нескольких таких ходов во всех клетках оказаться поровну бактерий?

   Решение

Можно ли из квадрата со стороной 10 см вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 5 м?

   Решение

На белых и чёрных клетках доски 10×10 стоит по одинаковому количеству ладей так, что никакие две ладьи друг друга не бьют.
Докажите, что на эту доску можно поставить еще одну ладью так, чтобы она не била никакую из уже стоящих.

   Решение

Тема:    [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде "налево" некоторые повернулись налево, некоторые – направо, а остальные – кругом.
Всегда ли сержант сможет встать в строй так, чтобы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?

Подсказка

Двигайте сержанта вдоль строя. Число стоящих лицом к сержанту при этом меняется не более чем на 1.

Решение

  Для каждого положения сержанта в строю вычислим разность d между количеством человек, стоящих слева от сержанта к нему лицом, и количеством человек, стоящих справа от сержанта к нему лицом. Посмотрим, как это число меняется при сдвиге сержанта на одно место вправо. Если он "проходит" новобранца, стоявшего к нему спиной, то d увеличивается на 1. Если сержант "проходит" новобранца, стоявшего к нему лицом, то d уменьшается на 1. Иначе d не меняется.
  Ясно также, что, когда сержант стоит крайним слева, d неположительно, а когда он стоит крайним справа, d неотрицательно. Поскольку на каждом шаге d меняется не более чем на 1, где-то "по дороге" оно примет значение 0. В этом положении с обеих сторон от сержанта лицом к нему находится поровну новобранцев.

Ответ

Всегда.

Источники и прецеденты использования