Версия для печати
Убрать все задачи

---

В угол вписаны две окружности; у них есть общая внутренняя касательная T₁T₂ (T₁ и T₂ — точки касания), которая пересекает стороны угла в точках A₁ и A₂. Докажите, что A₁T₁ = A₂T₂ (или, что эквивалентно, A₁T₂ = A₂T₁).

   Решение

---

В окружности с центром O проведены параллельные хорды PQ и RS, диаметр SE и хорда RE. Хорда RE пересекает хорду PQ в точке F, из точки F опущен перпендикуляр FH на SE. Известно, что радиус окружности равен r, а  EH = ^3r/₈.  Найдите расстояние от середины отрезка EO до середины хорды RQ.

   Решение

---

В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина дуги $BAC$ описанной окружности $\Omega$, $I$ – центр вписанной окружности, $N$ – вторая точка пересечения прямой $AI$ с $\Omega$, $E$ – точка касания стороны $BC$ с соответствующей вневписанной окружностью, $Q$ – вторая точка пересечения окружности $IMN$ с прямой, проходящей через $I$ и параллельной $BC$. Докажите, что прямые $AE$ и $NQ$ пересекаются на $\Omega$.

   Решение

---

В треугольнике ABC, площадь которого равна S, проведены биссектриса CE и медиана BD, пересекающиеся в точке O. Найдите площадь четырёхугольника ADOE, зная, что BC = a, AC = b.

   Решение

---

Докажите, что предпоследняя цифра степени тройки всегда чётна.

   Решение

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Десятичная система счисления ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что предпоследняя цифра степени тройки всегда чётна.

Решение

  Для чисел 3⁰, 3¹, 3² и 3³ это верно. Поэтому достаточно проверить, что  3^4n+r – 3^r  делится на 20 при любом натуральном n и  r = 0, 1, 2, 3.
  Но  3^4n+r – 3^r = 3^r(81ⁿ – 1)  делится даже на  81 – 1 = 80.

Источники и прецеденты использования