Информация о задаче

Задача 55011

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC, площадь которого равна S, проведены биссектриса CE и медиана BD, пересекающиеся в точке O. Найдите площадь четырёхугольника ADOE, зная, что BC = a, AC = b.

Подсказка

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta BEO}}{S_{\Delta BAD}}}$ = $\displaystyle {\frac{BE}{BA}}$ ^. $\displaystyle {\frac{BO}{BD}}$ .

Решение

По свойству биссектрисы треугольника ${\frac{BO}{OD}}$ = ${\frac{BC}{CD}}$ = ${\frac{2a}{b}}$ . Поэтому ${\frac{BO}{BD}}$ = ${\frac{2a}{2a + b}}$ . Аналогично ${\frac{BE}{EA}}$ = ${\frac{a}{b}}$ . Поэтому ${\frac{BE}{AB}}$ = ${\frac{a}{a+b}}$ . Тогда

S_BOE = $\displaystyle {\frac{BO}{BD}}$ ^. $\displaystyle {\frac{BE}{BA}}$ S_ABD = $\displaystyle {\frac{2a}{2a + b}}$ ^. $\displaystyle {\frac{a}{a+b}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S = a^{2 .} $\displaystyle {\frac{S}{(2a + b)(a + b)}}$ ,

S_ADOE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S - $\displaystyle {\frac{a^{2}S}{(2a + b)(a + b)}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S $\displaystyle \left(\vphantom{1 - \frac{2a^{2}}{(2a + b)(a + b)}}\right.$ 1 - $\displaystyle {\frac{2a^{2}}{(2a + b)(a + b)}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1 - \frac{2a^{2}}{(2a + b)(a + b)}}\right)$ = $\displaystyle {\frac{b(3a + b)S}{2(2a + b)(a + b)}}$ .

Ответ

${\frac{b(3a+b)S}{2(a+b)(2a+b)}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3067