Задача 37003

Темы:    [ Построения одной линейкой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Богданов И.И.

На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в неё четырёхугольник и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром. Затем стерли четырёхугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив её центр). Восстановите какую-нибудь из стертых вершин четырёхугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий.

Решение

  Рассмотрим исходный чертёж: ABCD – данный четырёхугольник; О и Q – центры описанной и вписанной окружностей соответственно (см. рис.).

  Заметим, что AQ – биссектриса угла BAD; пусть она пересекает описанную окружность в точке N. Значит,  ⌣BN = ⌣ND.  Пусть MN – диаметр окружности, тогда  ⌣BM = ⌣MD.  Следовательно, СМ – биссектриса угла BCD, поэтому она содержит центр Q вписанной окружности.
  Таким образом, если на чертеже сохранилась, например, вершина А, то можно восстановить противолежащую вершину С. Для этого достаточно провести три линии: луч AQ до пересечения с описанной окружностью в точке N, луч NO до пересечения с описанной окружностью в точке M и луч MQ до пересечения с описанной окружностью в искомой точке С.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	02 (2004 год)
Дата	2004-04-11
класс
Класс	10-11 класс
задача
Номер	3