Версия для печати
Убрать все задачи

---

В остроугольном треугольнике ABC проведены биссектриса AD и высота BE. Докажите, что  ∠CED > 45°.

   Решение

---

Четырехугольник ABCD обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон BC и CD. Докажите, что  AB + BC = AD + DC.

   Решение

---

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а вневписанная — в точке L. Докажите, что  CK = BL = (a + b - c)/2, где a, b, c — длины сторон треугольника.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 37001  (#1)

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Точки Е и F – середины сторон ВС и AD выпуклого четырёхугольника АВСD. Докажите, что отрезок EF делит диагонали АС и BD в одном и том же отношении.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 37002  (#2)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Ломаные ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Призма (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Существует ли в пространстве замкнутая самопересекающаяся ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём в его середине?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 37003  (#3)

Темы:   [ Построения одной линейкой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в неё четырёхугольник и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром. Затем стерли четырёхугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив её центр). Восстановите какую-нибудь из стертых вершин четырёхугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 37004  (#4)

Темы:   [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 10

В треугольнике АВС  М – точка пересечения медиан, О – центр вписанной окружности.
Докажите, что если прямая ОМ параллельна стороне ВС, то точка О равноудалена от середин сторон АВ и АС.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 37005  (#5)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Гомотетичные многоугольники ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Трапеция АВСD с основаниями AB и CD вписана в окружность. Докажите, что четырёхугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые AC, BC, AD и BD, является вписанным.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями