ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 37001
Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки Е и F – середины сторон ВС и AD выпуклого четырёхугольника АВСD. Докажите, что отрезок EF делит диагонали АС и BD в одном и том же отношении.


Решение

  Первый способ. Пусть отрезок EF пересекает в точке X, а BD – в точке Y. Проведём через вершины А и D прямые, параллельные EF, пересекающие прямую ВС в точках K и M соответственно (рис. а). По теореме Фалеса  EK = EM.  По теореме о пропорциональных отрезках  

  Второй способ. Проведём отрезки AY, CY, BX и DX (рис. б). Так как XF – медиана треугольника AXD, то  SBXY = SCXY.  Аналогично  SBXY = SCXY.  Значит,  

Рис. аРис. б Рис. вРис. г

  Третий способ. Если стороны ВС и AD параллельны, то АВСD – трапеция, отрезок EF проходит через точку пересечения её диагоналей и утверждение очевидно.
  Пусть прямые ВС и AD пересекаются в точке K, прямые и EF – в точке X, прямые BD и EF – в точке Y (рис. в). По теореме Менелая для треугольника KAC и прямой EF     Аналогично, для треугольника KBD и прямой EF:     Следовательно,  

  Четвёртый способ. Назовём прямую, проходящую через середины противолежащих сторон четырёхугольника, его средней линией.
  Рассмотрим геометрическое место таких точек D', что прямая EF содержит среднюю линию четырёхугольника ABCD'. Этим ГМТ является прямая l – образ прямой EF при гомотетии с центром в точке A и коэффициентом 2 (рис. г). Так как  l || EF,  то для любой точки  D' ∈ l  отрезки BD и BD' делятся прямой EF в одном и том же отношении. Так как у четырёхугольников ABCD и ABCD' диагональ и прямая, содержащая среднюю линию, – общие, а диагонали BD и BD' делятся прямой EF в одном и том же отношении, то утверждение задачи достаточно доказать хотя бы для одного из четырёхугольников ABCD'. Но это утверждение очевидно для случая, когда  AD' || BC,  то есть когда ABCD' – трапеция.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 02 (2004 год)
Дата 2004-04-11
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .