Задача 52340

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10 Название задачи: Теорема Коперника..

Условие

По неподвижной окружности, касаясь её изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекторию описывает фиксированная точка K подвижной окружности?

Подсказка

Проведите диаметр через первоначальную точку касания.

Решение

Пусть O — центр неподвижной окружности, K₀ — первоначальная точка касания окружностей, O₁ — новый центр катящейся окружности, M — новая точка касания, K — движущаяся точка. Тогда MK₀ = MK. Поэтому

MO₁K = 2MOK₀.

Следовательно, точка K лежит на прямой OK₀.

Ответ

Диаметр окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2