Задача 52341

Темы:    [ Диаметр, основные свойства ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Хорды AB и CD пересекаются в точке M, лежащей внутри круга. Докажите, что треугольники AMD и CMB подобны.

Подсказка

Угол BAD равен углу BCD.

Решение

Поскольку угол BAD равен углу BCD (как вписанные углы, опирающиеся на одну и те же дугу), то треугольники AMD и CMB подобны по двум углам.

Следствие. Произведения отрезков пересекающихся хорд равны между собой.

Действительно, из подобия треугольников AMD и CMB следует, что = , или AM ^. BM = CM ^. DM.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3