ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52342
Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Диаметр, основные свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
 В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка P удалена на расстояние, равное 7, от центра окружности, радиус которой равен 11. Через точку P проведена хорда, равная 18. Найдите отрезки, на которые делится хорда точкой P?


Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра окружности на данную хорду.


Решение

Первый способ.

Пусть O — центр данной окружности, AB — данная хорда, AB = 18, OP = 7. Пусть M — основание перпендикуляра, опущенного из центра O на хорду AB. Тогда M — середина AB и

OM = $\displaystyle \sqrt{OA^{2}- AM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{40}$.

Если точка P находится между M и B, то

PM = $\displaystyle \sqrt{OP^{2}- OM^{2}}$ = 3.

Тогда

AP = AM + MP = 9 + 3 = 12, BP = BM - MP = 6.

Второй способ.

Пусть O — центр окружности, AB — данная хорда. Проведём диаметр CD, содержащий точку P (P между O и D). Обозначим PB = x. Тогда

AP = 18 - x, DP = OD - OP = 11 - 7 = 4;

PC = OP + OC = 7 + 11 = 18, AP . PB = PD . PC,

или

(18 - x)x = 4 . 18.

Из этого уравнения находим, что x = 12 или x = 6.


Ответ

12 и 6.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .