Информация о задаче

Задача 52350

Темы:	[	ГМТ и вписанный угол	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Решение

Пусть AB — данный отрезок, а данный угол равен $\alpha$ . Построим два треугольника ABC и ABC' так, чтобы точки C и C' лежали по разные стороны от прямой AB и $\angle$ ACB = $\angle$ AC'B = $\alpha$ . Опишем окружности около этих треугольников. Докажем, что искомое геометрическое место точек — это две дуги построенных окружностей: дуга AB описанной окружности треугольника ABC, содержащая точку C, и дуга AB описанной окружности треугольника ABC', содержащая точку C'.

Если точка M, отличная от A и B, лежит на первой из этих дуг, то по теореме о вписаных углах, опирающихся на одну и ту же дугу

$\displaystyle \angle$ AMB = $\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle \alpha$ .

Аналогично, для точки, лежащей на второй дуге.

Обратно, пусть точка N такова, что $\angle$ ANB = $\alpha$ . Преположим, что при этом точки N и C лежат по одну сторону от прямой AB. Докажем, что точка N лежит на первой из построенных дуг. Допустим, что это не так. Если точка N расположена внутри окружности, то продолжив отрезок AN за точку N, получим точку K пересечения луча AN с окружностью. Тогда

$\displaystyle \angle$ AKB = $\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \angle$ ANB,

что невозможно, т.к. ANB — внешний угол треугольника BKN, а тогда

$\displaystyle \angle$ ANB = $\displaystyle \angle$ AKB + $\displaystyle \angle$ KBN > $\displaystyle \angle$ AKB.

Аналогично для случая, когда точка N лежит вне окружности.

Если точки N и C лежат по разные стороны от прямой AB, то рассуждая аналогично, докажем что точка N лежит на второй из построенных дуг.

Таким образом, мы доказали, что из каждой точки построенных дуг (кроме A и B) отрезок AB виден под углом $\alpha$ , и обратно, если из какой-то точки отрезок AB виден под углом $\alpha$ , то эта точка лежит на одной из построенных дуг.

Ответ

Дуги двух равных окружностей c общей хордой (без концов этой хорды).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	12