Задача 52374

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В круге проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M; K – точка пересечения биссектрисы угла BMD с хордой BD.
Найдите отрезки BK и KD, если  BD = 3,  а площади треугольников CMB и AMD относятся как  1 : 4.

Подсказка

Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон.

Решение

  Треугольники BMC и DMA подобны  (∠MCB = ∠DCB = ∠DAB = ∠DAM).  Поскольку площади этих треугольников относятся как  1 : 4,  то коэффициент подобия равен ½. Поэтому  DM = 2BM.
  Поскольку MK – биссектриса треугольника BMD, то  DK : KB = DM : BM = 2.  Следовательно,  DK = ²/₃ BD = 2,  BK = ¹/₃ BD = 1.

Ответ

1 и 2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	36