ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 52382
УсловиеВ трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания BC, угол A равен 45o, угол D равен 60o. На диагоналях трапеции как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках M и N. Хорда MN пересекает основание AD в точке E. Найдите отношение AE : ED.
ПодсказкаОснования высот трапеции, опущенных из вершин B и C, лежат на указанных окружностях.
РешениеПусть окружность с диаметром BD пересекает основание AD трапеции ABCD в точке Q, а окружность с диаметром AC — в точке P. Тогда CP и BQ — высоты трапеции. Обозначим CP = BQ = h. Тогда DP = , AQ = h. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд
DE . EQ = NE . EM = AE . EP, или + PEEQ = (h + QE)PE.
Отсюда находим, что
PE = . Следовательно,
= = = .
Условие AD = 2BC — лишнее.
Пусть окружность с диаметром BD пересекает основание AD трапеции ABCD в точке Q, а окружность с диаметром AC — в точке P. Тогда CP и BQ — высоты трапеции. Обозначим CP = BQ = h. Тогда DP = , AQ = h. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд
DE . EQ = NE . EM = AE . EP, или + PEEQ = (h + QE)PE.
Отсюда находим, что
PE = . Следовательно,
= = = .
Условие AD = 2BC — лишнее.
Пусть окружность с диаметром BD пересекает основание AD трапеции ABCD в точке Q, а окружность с диаметром AC — в точке P. Тогда CP и BQ — высоты трапеции. Обозначим CP = BQ = h. Тогда DP = , AQ = h. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд
DE . EQ = NE . EM = AE . EP, или + PEEQ = (h + QE)PE.
Отсюда находим, что
PE = . Следовательно,
= = = .
Условие AD = 2BC — лишнее.
Ответ.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|