ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52387
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что около четырёхугольника, сумма противоположных углов которого равна 180o, можно описать окружность.


Подсказка

Проведите окружность через три вершины и докажите, что четвёртая также попадёт на эту окружность.


Решение

Пусть ABCD — данный четырёхугольник и $ \angle$BAD + $ \angle$BCD = 180o. Опишем окружность около треугольника ABD. Если точка C окажется на этой окружности, то утверждение доказано.

Пусть точка C находится внутри окружности. Продолжим луч DC до пересечения с окружностью в точке C1. Тогда

$\displaystyle \angle$BC1D + $\displaystyle \angle$BAD = 180o

(свойство вписанного четырёхугольника). Поэтому $ \angle$BCD = $ \angle$BC1D. Поскольку BCD — внешний угол треугольника CBB1, то

$\displaystyle \angle$BCD = $\displaystyle \angle$BC1D + $\displaystyle \angle$CBC1,

что невозможно.

Аналогично для случая, когда C1 — вне окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 49

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .