Информация о задаче

Задача 52387

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что около четырёхугольника, сумма противоположных углов которого равна 180^o, можно описать окружность.

Подсказка

Проведите окружность через три вершины и докажите, что четвёртая также попадёт на эту окружность.

Решение

Пусть ABCD — данный четырёхугольник и $\angle$ BAD + $\angle$ BCD = 180^o. Опишем окружность около треугольника ABD. Если точка C окажется на этой окружности, то утверждение доказано.

Пусть точка C находится внутри окружности. Продолжим луч DC до пересечения с окружностью в точке C₁. Тогда

$\displaystyle \angle$ BC₁D + $\displaystyle \angle$ BAD = 180^o

(свойство вписанного четырёхугольника). Поэтому $\angle$ BCD = $\angle$ BC₁D. Поскольку BCD — внешний угол треугольника CBB₁, то

$\displaystyle \angle$ BCD = $\displaystyle \angle$ BC₁D + $\displaystyle \angle$ CBC₁,

что невозможно.

Аналогично для случая, когда C₁ — вне окружности.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	49