Информация о задаче

Задача 52389

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Точка Микеля	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что окружности, описанные около трёх треугольников, отсекаемых от остроугольного треугольника средними линиями, имеют общую точку.

Подсказка

Докажите, что одна из точек пересечения окружностей, описанных около двух треугольников, лежит на третьей окружности.

Решение

Пусть A₁, B₁, C₁ — середины соответствующих сторон треугольника ABC, M — точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A₁BC₁ и AC₁B₁, отличная от C₁. Если точка M лежит внутри треугольника ABC, то

$\displaystyle \angle$ A₁MB₁ = 360^o - $\displaystyle \angle$ A₁MC₁ - $\displaystyle \angle$ B₁CM₁ =

= 360^o - (180^o - $\displaystyle \angle$ A) - (180^o - $\displaystyle \angle$ B) =

= $\displaystyle \angle$ A + $\displaystyle \angle$ B = 180^o - $\displaystyle \angle$ C.

Следовательно, точки C, A₁, M и B₁ лежат на одной окружности.

Аналогично для случаев, когда точка M лежит вне треугольника ABC или на его стороне.

Утверждение остается верным, если вместо середин взять любые три точки на сторонах треугольника.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	51