Версия для печати
Убрать все задачи

---

От квадрата отрезан прямоугольный треугольник, сумма катетов которого равна стороне квадрата.
Докажите, что сумма трёх углов, под которыми видна из трёх оставшихся вершин его гипотенуза, равна 90°.

   Решение

---

Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, если у него:
  а) медиана BD является высотой;
  б) высота BD является биссектрисой.

   Решение

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Точка Микеля ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что окружности, описанные около трёх треугольников, отсекаемых от остроугольного треугольника средними линиями, имеют общую точку.

Подсказка

Докажите, что одна из точек пересечения окружностей, описанных около двух треугольников, лежит на третьей окружности.

Решение

Пусть A₁, B₁, C₁ — середины соответствующих сторон треугольника ABC, M — точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A₁BC₁ и AC₁B₁, отличная от C₁. Если точка M лежит внутри треугольника ABC, то

Следовательно, точки C, A₁, M и B₁ лежат на одной окружности.

Аналогично для случаев, когда точка M лежит вне треугольника ABC или на его стороне.

Утверждение остается верным, если вместо середин взять любые три точки на сторонах треугольника.

Источники и прецеденты использования