Информация о задаче

Задача 52416

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Продолжения высот AM и CN остроугольного треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках P и Q. Найдите радиус описанной окружности, если AC = a, PQ = ${\frac{6a}{5}}$ .

Подсказка

Точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно стороны, лежит на описанной окружности треугольника. Треугольник BMN подобен треугольнику BAC, причём коэффициент подобия равен cos $\angle$ ABC.

Решение

Пусть H — точка пересечения высот. Известно, что точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно стороны, лежит на описанной окружности треугольника. Поэтому HM = MP и HN = NQ. Значит, MN — средняя линия треугольника HQP. Следовательно,

MN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ PQ = $\displaystyle {\frac{3a}{5}}$ .

Треугольник BMN подобен треугольнику BAC, причём коэффициент подобия равен cos $\angle$ ABC. Значит,

cos $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle {\frac{MN}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{3}{5}a}{a}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ , sin $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ .

Если R — искомый радиус, то

R = $\displaystyle {\frac{AC}{2\sin \angle ABC}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{2\cdot \frac{4}{5}}}$ = $\displaystyle {\frac{5a}{8}}$ .

Ответ

${\frac{5a}{8}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	78