Задача 52440

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Сторона AB правильного шестиугольника ABCDEF равна   и является хордой некоторой окружности, причём остальные стороны шестиугольника лежат вне этой окружности. Длина касательной CM, проведённой к той же окружности из вершины C, равна 3. Найдите диаметр окружности.

Подсказка

Докажите, что прямая BC проходит через центр данной окружности.

Решение

Пусть M – точка касания, K – вторая точка пересечения прямой BC с данной окружностью (см. рис.). Тогда  CK·CB = CM²,  откуда  BK = 2.  В треугольнике ABK  BK = 2AB,  ∠ABK = 180° – ∠ABC = 180° – 120° = 60°.  Значит, треугольник ABK прямоугольный с гипотенузой BK. Следовательно,  BK = 2  – искомый диаметр.

Ответ

2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	102