Задача 52442

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB = 3 и BC = 4 через середины сторон AB и AC проведена окружность, касающаяся катета BC. Найдите длину отрезка гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

Пусть M и N — середины AC и AB соответственно, K — точка касания. Тогда MN — средняя линия треугольника ABC; диаметр окружности, проходящий через точку касания K, перпендикулярен BC, а значит, и MN. Поэтому

MN = BC = 2, CK = CB - KB = CB - MN = 4 - 1 = 3.

Пусть T — вторая точка пересечения окружности с гипотенузой AC. Тогда

CT ^. CM = CK², или  + MT = 9.

Отсюда находим, что MT = .

Пусть M и N — середины AC и AB соответственно, K — точка касания. Тогда MN — средняя линия треугольника ABC; диаметр окружности, проходящий через точку касания K, перпендикулярен BC, а значит, и MN. Поэтому

MN = BC = 2, CK = CB - KB = CB - MN = 4 - 1 = 3.

Пусть T — вторая точка пересечения окружности с гипотенузой AC. Тогда

CT ^. CM = CK², или  + MT = 9.

Отсюда находим, что MT = .

Пусть M и N — середины AC и AB соответственно, K — точка касания. Тогда MN — средняя линия треугольника ABC; диаметр окружности, проходящий через точку касания K, перпендикулярен BC, а значит, и MN. Поэтому

MN = BC = 2, CK = CB - KB = CB - MN = 4 - 1 = 3.

Пусть T — вторая точка пересечения окружности с гипотенузой AC. Тогда

CT ^. CM = CK², или  + MT = 9.

Отсюда находим, что MT = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	104