Задача 52443

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружность касается сторон AB и AD прямоугольника ABCD и проходит через вершину C . Сторону DC она пересекает в точке N . Найдите площадь трапеции ABND , если AB = 9 и AD = 8 .

Решение

Обозначим DN = x . Пусть P и Q — точки касания окружности со сторонами соответственно AD и AB данного прямоугольника, а перпендикуляр к стороне AB , проведённый через точку Q , пересекает сторону DC в точке F . Тогда центр окружности лежит на прямой QF , а т.к. диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, то F — середина хорды CN .
По теореме о касательной и секущей PD2=DC· DN = 9x , поэтому PD = 3 . Тогда

AQ=AP = AD-PD = 8-3 = AQ, QB = AB-AQ=9-(8-3) = 1 + 3,

NC = 2CF = 2QB = 2 + 6.
Поскольку NC + ND = 9 , то
2 + 6 + x = 9, илиx + 6 - 7 = 0.
Отсюда находим, что x = 1. Следовательно,
S_ABND = · AD = 10· 4 = 40.

Ответ

40.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	105