Информация о задаче

Задача 52445

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Каждая из боковых сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC разделена на три равные части, и через четыре точки деления на этих сторонах проведена окружность, высекающая на основании AC хорду DE. Найдите отношение площадей треугольников ABC и BDE, если AB = BC = 3 и AC = 4.

Подсказка

Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.

Решение

Поскольку треугольник ABC — равнобедренный, то AD = EC. Обозначим DE = x. Тогда

CE = $\displaystyle {\frac{4-x}{2}}$ , CD = $\displaystyle {\frac{4+x}{2}}$ .

Из точки C к указанной окружности проведены две секущие. Произведение всей секущей на её внешнюю часть данной точки и данной окружности постоянно. Поэтому

CE^.CD = 2, или $\displaystyle {\frac{16-x^{2}}{4}}$ = 2.

Отсюда находим, что x = 2 $\sqrt{2}$ . Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta BDE}}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{DE}}$ = $\displaystyle {\frac{4}{2\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Поскольку треугольник ABC — равнобедренный, то AD = EC. Обозначим DE = x. Тогда

CE = $\displaystyle {\frac{4-x}{2}}$ , CD = $\displaystyle {\frac{4+x}{2}}$ .

CE^.CD = 2, или $\displaystyle {\frac{16-x^{2}}{4}}$ = 2.

Отсюда находим, что x = 2 $\sqrt{2}$ . Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta BDE}}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{DE}}$ = $\displaystyle {\frac{4}{2\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Поскольку треугольник ABC — равнобедренный, то AD = EC. Обозначим DE = x. Тогда

CE = $\displaystyle {\frac{4-x}{2}}$ , CD = $\displaystyle {\frac{4+x}{2}}$ .

CE^.CD = 2, или $\displaystyle {\frac{16-x^{2}}{4}}$ = 2.

Отсюда находим, что x = 2 $\sqrt{2}$ . Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta BDE}}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{DE}}$ = $\displaystyle {\frac{4}{2\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Ответ

$\sqrt{2}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	107