Информация о задаче

Задача 52446

Темы:	[	Диаметр, основные свойства	]
Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что AB = $\sqrt{14}$ и BC = 2. Окружность проведена через точку B, через середину D отрезка BC, через точку E на отрезке AB и касается стороны AC. Найдите отношение, в котором эта окружность делит отрезок AB, если DE — диаметр этой окружности.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

Поскольку ED — диаметр окружности, то $\angle$ B = 90^o. Поэтому

AC = $\displaystyle \sqrt{BC^{2} + AB^{2}}$ = 3 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Пусть P — точка касания окружности с гипотенузой AC. Тогда

PC² = CB^.CD = 2, PC = $\displaystyle \sqrt{2}$ , AP = 3 $\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle \sqrt{2}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{2}$ ,

AB^.AE = AP², или $\displaystyle \sqrt{14}$ ( $\displaystyle \sqrt{14}$ - BE) = 8.

Отсюда находим, что

BE = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{14}}{7}}$ , AE = $\displaystyle \sqrt{14}$ - $\displaystyle {\frac{3\sqrt{14}}{7}}$ = $\displaystyle {\frac{4\sqrt{14}}{7}}$ , $\displaystyle {\frac{AE}{BE}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{3}}$ .

Ответ

4:3.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	108