Задача 52459

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Признаки подобия ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дан угол с вершиной O и окружность, касающаяся его сторон в точках A и B. Из точки A параллельно OB проведён луч, пересекающий окружность в точке C. Прямая OC пересекает окружность в точке E. Прямые AE и OB пересекаются в точке K. Докажите, что  OK = KB.

Подсказка

Треугольник KOA подобен треугольнику KEO.

Решение

Треугольники KOA и KEO подобны по двум углам  (∠EOK = ∠ACE = ∠OAK).  Поэтому    KE : OK = OK : AK.  Отсюда следует, что  OK² = EK·AK.  С другой стороны, по теореме о касательной и секущей  EK·AK = KB².  Следовательно,  OK = KB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	121