|
|
 |
Условие
Дана окружность с диаметром AB. Вторая окружность с центром в точке A пересекает первую в точках C и D, а диаметр AB – в точке E. На дуге CE, не содержащей точки D, взята точка M, отличная от точек C и E. Луч BM пересекает первую окружность в точке N. Известно, что CN = a, DN = b. Найдите MN.
Подсказка
Треугольники CNM и MND подобны.
Решение
Пусть L – вторая точка пересечения луча BM со второй окружностью, а P – точка пересечения этой окружности с лучом DN.
Поскольку AN ⊥ ML, то LN = MN, а так как B – середина дуги CD, то ∠
PNL = ∠BND = ∠BNC = ∠MNC.
При симметрии относительно прямой AN точка M переходит в L, луч NC – в луч NP, а вторая окружность – в себя. Поэтому треугольник NCM переходит в треугольник NPL. Значит, эти треугольники равны. Поэтому PN = CN = a.
Следовательно, MN² = MN·NL = PN·DN = CN·DN = ab.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 124 |
