Информация о задаче

Задача 52475

Темы:	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Костенков А.

В круге проведены два перпендикулярных диаметра AE и BF. На дуге EF взята точка C. Хорды CA и CB пересекают диаметры BF и AE в точках P и Q соответственно. Докажите, что площадь четырёхугольника APQB равна квадрату радиуса круга.

Подсказка

$\angle$ CAE + $\angle$ CBF = 45^o,

tg( $\alpha$ + $\beta$ ) = ${\frac{{\rm tg }\alpha + {\rm tg }\beta}{1 - {\rm tg }\alpha {\rm tg }\beta}}$ .

Решение

Пусть O — центр круга, R — радиус. Обозначим $\angle$ CAE = $\alpha$ , $\angle$ CBF = $\beta$ . Поскольку $\alpha$ + $\beta$ = 45^o, то

S_APQB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ OA^.OB + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ OP^.OA + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ OQ^.OB + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ OP^.OQ =

= $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$ ^.tg $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$ ^.tg $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$ ^.tg $\displaystyle \alpha$ tg $\displaystyle \beta$ =

= $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$ (1 + tg $\displaystyle \alpha$ + tg $\displaystyle \beta$ + tg $\displaystyle \alpha$ tg $\displaystyle \beta$ ) = $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$ (1 + tg $\displaystyle \alpha$ tg $\displaystyle \beta$ + tg( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ )(1 - tg $\displaystyle \alpha$ tg $\displaystyle \beta$ )) =

= $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$ (1 + tg $\displaystyle \alpha$ tg $\displaystyle \beta$ + 1 - tg $\displaystyle \alpha$ tg $\displaystyle \beta$ ) = $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$ ^.(1 + 1) = R²,

т.к.

tg( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ) = tg45^o = 1.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	137