а) Головоломка "Ханойская башня" представляет собой восемь дисков, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один из трёх колышков. Требуется переместить всю башню на другой колышек, перенося каждый раз только один диск и не помещая больший диск на меньший. Докажите, что головоломка имеет решение. Какой способ будет оптимальным (по числу перекладываний дисков)?

  б) Занумеруем колышки числами 1, 2, 3. Требуется переместить диски с 1-го колышка на 3-й. Сколько понадобится перекладываний, если прямое перемещение диска с 1-го колышка на 3-й и с 3-го на 1-й запрещено (каждое перекладывание должно производиться через 2-й колышек)?

  в) Сколько понадобится перекладываний, если в условии пункта а) добавить дополнительное требование: первый (самый маленький) диск нельзя класть на 2-й колышек?

   Решение

Темы:    [ Диаметр, основные свойства ] [ Наименьший или наибольший угол ] [ Неравенства с углами ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Общие четырехугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.

Подсказка

Из непокрытой точки каждая сторона была бы видна под острым углом, что невозможно.

Решение

Предположим, что некоторая точка, расположенная внутри данного четырёхугольника, не принадлежит ни одному из указанных кругов. Тогда из этой точки диаметр каждого круга виден под острым углом. Поскольку четырёхугольник выпуклый, то сумма этих четырёх углов должна быть равна 360^o, что невозможно, т.к. по предположению каждый из углов меньше 90^o.

Источники и прецеденты использования