Информация о задаче

Задача 52485

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
Темы:	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Колпаков С.

На хорде AB окружности S с центром в точке O взята точка C. D — вторая точка пересечения окружности S с окружностью, описанной около треугольника ACO. Докажите, что CD = CB.

Подсказка

OC — биссектриса угла DOB.

Решение

Рассмотрим случай, когда точки D и C лежат по разные стороны от AO. Пусть $\angle$ DOC = $\alpha$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ DAC = 180^o - $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ DOB = 360^o - 2 $\displaystyle \angle$ DAB =

= 360^o - (360^o - 2 $\displaystyle \alpha$ ) = 2 $\displaystyle \alpha$ .

Значит, OC — биссектриса угла DOB. Поскольку треугольник DOB равнобедренный, то прямая OC — серединный перпендикуляр к отрезку DB. Следовательно, CD = CB.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	148


журнал
Название	"Квант"
год
Год	1980
выпуск
Номер	3
Задача
Номер	М611