Информация о задаче

Задача 52486

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол C — тупой. На стороне AB отмечены точки E и H, на сторонах AC и BC — точки K и M соответственно. Оказалось, что AH = AC, BE = BC, AE = AK, BH = BM. Докажите, что точки E, H, K, M лежат на одной окружности.

Подсказка

Докажите, что CK = CM.

Решение

Обозначим углы треугольника ABC через $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . соответственно. Поскольку

CK = CA - AK = AH - AE = EH = BE - BH = BC - BM = CM,

то

$\displaystyle \angle$ CKM = 90^o - $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ .

Поэтому

$\displaystyle \angle$ AKM = 90^o + $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ .

Поскольку

$\displaystyle \angle$ AKE = 90^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ ,

то

$\displaystyle \angle$ EKM = 180^o - $\displaystyle \angle$ AKE - $\displaystyle \angle$ CKM = 180^o - $\displaystyle \left(\vphantom{90^{\circ}- \frac{\alpha}{2}}\right.$ 90^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{90^{\circ}- \frac{\alpha}{2}}\right)$ - $\displaystyle \left(\vphantom{90^{\circ}- \frac{\gamma}{2}}\right.$ 90^o - $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{90^{\circ}- \frac{\gamma}{2}}\right)$ =

= $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ = 90^o - $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ = $\displaystyle \angle$ MHB = 180^o - $\displaystyle \angle$ MHE.

Следовательно, около четырёхугольника EKMH можно описать окружность.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	149