|
|
 |
Условие
Для данной хорды MN окружности рассматриваются треугольники ABC, основаниями которых являются диаметры AB этой окружности, не пересекающие MN, а стороны AC и BC проходят через концы M и N хорды MN. Докажите, что высоты всех таких треугольников ABC, опущенные из вершины C на сторону AB, пересекаются в одной точке.
Подсказка
Точки M, N, C и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности. Её центр — искомая точка.
Решение
AN и BM — также высоты треугольника ABC. Пусть H — их точка пересечения. Точки M, C, N, H лежат на окружности с диаметром CH. Пусть P — её центр.
Поскольку высоты треугольника пересекаются в одной точке, то P лежит на высоте треугольника ABC.
Угол C не зависит от положения диаметра AB, так как
