Задача 52490

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Сергеев И.Н.

Докажите, что если в выпуклом пятиугольнике ABCDE  ABC = ∠ADE  и ∠AEC = ∠ADB,  то  ∠BAC = ∠DAE.

Подсказка

Пусть F – точка пересечения диагоналей EC и DB. Докажите, что четырёхугольники AEDF и AFCB вписанные.

Решение

Пусть F – точка пересечения диагоналей EC и DB. Поскольку  ∠AEC = ∠ADB,  то отрезок AF виден из точек E и D под одним углом. Поэтому точки A, E, D, F лежат на одной окружности. Значит,  ∠AFE = ∠ADE = ∠ABC.  Поэтому точки A, B, C и F также лежат на одной окружности. Следовательно,
∠CAB = ∠CFB = ∠EFD = ∠EAD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	153