|
Название задачи: Задача Архимеда. |
 |
Условие
В дугу AB окружности вписана ломаная AMB из двух отрезков
(AM > MB).
Докажите, что основание перпендикуляра KH, опущенного из середины K дуги AB на отрезок AM, делит ломаную пополам.
Решение
Первый способ. Отложим на продолжении отрезка AM за точку M отрезок MB1, равный MB. Пусть прямая KM пересекает отрезок BB1 в точке P. Тогда
∠BMB1 = ∠MAB + MBA = ½ (⌣ MB + ⌣MA) = ½ ⌣AKB = ⌣AK = 2∠KMA = 2∠B1MP.
Поэтому прямая KP делит угол BMB1 равнобедренного треугольника BMB1 пополам. Значит, KP – серединный перпендикуляр к отрезку AB1. Следовательно,
KB1 = KB = AK. Поэтому KH – серединный пенрпедикуляр к отрезку AB1, и AH = HB1 = HM + MB. и
AH = HB1 = HM + MB.
Второй способ. Отметим на отрезке AM такую точку B2, что AB2 = MB (пусть B2 лежит между точками A и H). Так как точки A и B лежат на окружности по одну сторону от хорды KM, то ∠KAM = ∠KBM. Кроме того, AK = KB, поэтому треугольники KAB2 и KBM равны. Значит, KB2 = KM и треугольник B2KM – равнобедренный. Его высота KH является медианой, поэтому H – середина B2M. Следовательно, AH = AB2 + B2H = HM + MB.
Третий способ. Пусть луч KH второй раз пересекает окружность в точке L, а прямые AM и LB пересекаются в точке B1. Вписанные углы ALK и BLK равны, так как каждый из них опирается на половину дуги AKB. Таким образом, высота LH треугольника ALB1 является его биссектрисой, поэтому треугольник ALB1 – равнобедренный. Значит,
AH = HB1 и ∠MBB1 = ∠MAL = ∠MB1B.
Поэтому треугольник B1MB – также равнобедренный и MB = MB1. Следовательно,
AH = HB1 = HM + MB1 = HM + MB.
